1.2. Теоретическая модель

Теперь, вероятно, достаточно подготовлена почва для более предметного разговора. Содержание настоящего раздела покажется иным из читателей отвлеченным, а то и скучным. Но это неизбежная и, надеюсь, краткосрочная скука, которую следует перетерпеть. Те, для кого приведенные выкладки тривиальны, могут прочесть данный раздел "по диагонали", подробности адресованы тем, кто основательно подзабыл школьную математику, хотя для них - см. Предисловие - такое чтение способно оказаться затрудненным вдвойне. Уже на старте необходимо выравнять шансы двух разрядов читателей. Сходный мотив ответствен и за выбор смешанного, индуктивно-дедуктивного пути изложения: каждая из абстракций по возможности снабжена иллюстрациями. Чтобы не злоупотреблять терпением, часть выкладок вынесена за рамки раздела, и поначалу допустимо лишь бегло ознакомиться с ним. Впоследствии, следуя ссылкам, его можно использовать как справочный материал.

Выше упоминались некоторые из совокупностей тесно сопряженных друг с другом понятий. Таковы лица местоимений в языке, глагольные времена, составные члены триад немецкой классической философии, измерения физического пространства и др. Подобные группы отличаются своеобразным качеством целостности, и сейчас предстоит рассмотреть их более аккуратно.

Для удобства обозначим любую из таких совокупностей, или систем, через S. Каждая из систем S состоит из определенного числа элементов или, что то же, разбивается на эти элементы. Последние могут быть самыми разнообразными: ветви государственной власти (законодательная, исполнительная, судебная), грамматический род (мужской, женский, средний), измерения физического пространства (три в ньютоновской механике и четыре в релятивистской). Таким образом, мы отвлекаемся от конкретной природы составных элементов; нам важно лишь то, что они вообще существуют и что в каждой системе S их определенное количество. Обозначим это количество через M. Вообще говоря, заранее неизвестно, какова именно величина M - в разных случаях она различна, - ее-то и предстоит выяснять. Итак, система S состоит из M элементов.

Пока использована не вся информация. Мы видим, что элементы, из которых состоит система, не изолированы друг от друга, а каким-то образом взаимодействуют, связаны между собой, находятся в определенных реальных и/или логических отношениях. Никто ведь не станет всерьез утверждать, что, скажем, прошлое, настоящее, будущее суть изолированные друг от друга хронологические категории. Ради общности не будем строить никаких предположений о предметном характере упомянутых отношений: в каждой из систем S он, очевидно, свой. Пока достаточно и того, что связи, отношения явно наличествуют. Попробуем их пересчитать.

Если элемент a₁ связан с элементом a₂, мы говорим об одном отношении между двумя элементами. Если элемент a₁ сопряжен еще и с элементом a₃ , то фиксируется второе отношение. Аналогично, если элементы a₂ и a₃ также корреспондируют между собой, то имеется третье отношение и т.д. Обозначим общее количество связей в системе S через k и отныне будем говорить, что она состоит из M элементов и k отношений.

Определение свойств систем класса S еще не закончено. Ранее упоминалось такое качество как "целостность", постараемся с ним разобраться.

Важно, что система S в известном смысле является полной, т.е. включает в свой состав все значимые для себя элементы. Скажем, если кантовская система высших человеческих ценностей состоит из истины, добра, красоты, то имеется в виду, что нет других высших ценностей, сопоставимых по значению с названными, к ним не сводимых, но при этом не внесенных в список. Этот список по-своему исчерпывающ.

Если бы существовала хотя бы еще одна самостоятельная высшая ценность, которую мы забыли привести, то рассматриваемую систему не удалось бы полагать полной. Сходным образом, если бы помимо трех лиц местоимений мы пользовались еще каким-то независимым четвертым, то у нас не было бы прав именовать соответствующую грамматическую совокупность полной. Указанное обстоятельство математики иногда выражают так: система S состоит из M и только из M элементов. Определенную трудность для читателя может представлять разве что один нюанс: качество полноты системы следует полагать ранее предъявленного количества элементов M ("ранее" - не обязательно во времени, а в плане логического предшествования).(1) Сама же величина M, во-первых, бывает в разных списках различной и, во-вторых, выступает в качестве логически производной.

Система S является, кроме того, замкнутой или относительно замкнутой. Что это означает? - Смысл очень прост: составные элементы системы находятся в фактически и/или логически значимых связях только между собой и ни с чем внеположным. По крайней мере, никакие посторонние влияния не должны быть в состоянии изменить внутреннюю организацию, собственное строение системы, последняя должна быть независима от них. Все конституирующие связи принадлежат самой системе S ("все свое ношу с собой"). Будь это не так, она оказалась бы лишенной самодостаточности, логической прочности, произвольно перестраиваясь под воздействием тех или иных привходящих факторов.

Скажем, если ученые утверждают, что физическое пространство обладает тремя (или четырьмя) измерениями, то в обоих случаях предполагается, что физические события полностью вписываются в систему названных измерений. Заведомо исключается возможность непредусмотренного влияния из "ниоткуда": из неучтенных измерений или невесть из каких краев. В противном случае нам то и дело приходилось бы становиться свидетелями появления своеобразного deus ex machina. Отнюдь не случайно Ньютон сопровождал построение механики упорной борьбой с тем, что считал суевериями, т.е. с верой во вмешательство духов, ангелов или даже самого Бога в нынешнее течение физических процессов. Не стоит забегать чрезмерно вперед, но физическое пространство выступает как нечто самодостаточное, логически изолированное.

Подобным предположением пользуются не только физики. Когда правоведы говорят о государственной власти, о разделении ветвей, считается само собой разумеющимся, что обязательные для всех решения исходят только от легальных, перечисленных в теории и в законе ветвей. Известна и иная точка зрения: некоторые люди склонны подозревать, что президенты, парламенты, суды - не более, чем крикливо размалеванная декорация, за которой "на самом деле" скрываются могущественные кукловоды (масоны, мафия, клубы заговорщиков-толстосумов, а то и пришельцы из космоса). Однако в юридическом плане такое мнение признается ничтожным, и совокупность законных инстанций наделяется самодостаточностью. Из последней не вытекает, что государственная власть свободна от влияния со стороны общества, прессы, групп интересов, текущих событий, но сам принцип разделения властей из-за этого не ставится под вопрос, - будучи закреплен в конституции, он обладает солидным запасом прочности, у него всегда семь футов под килем.

Условие замкнутости формулируется так: в системе S действует k и только k значимых для нее отношений. Нетрудно заметить, что свойства полноты и замкнутости взаимно дополняют друг друга: то, чем служит полнота применительно к поэлементному составу системы, выступает как замкнутость применительно к ее отношениям. Оба свойства принадлежат априорной эвристической установке, логически предшествующей и предметному содержанию, и самому количеству составных компонентов и отношений.

Системы S, наряду с полнотой и замкнутостью, подчиняются и другим ограничениям: такие системы, хотя и часто встречаются, довольно особенные. Их третье свойство назовем связностью, подразумевая под этим, что в системе нет изолированных или полуизолированных элементов. Каждый элемент связан со всеми другими посредством заданных в системе отношений.

Это приходится специально оговаривать, потому что, вообще говоря, возможна и отличная ситуация. Лишь часть элементов системы могла бы взаимодействовать между собой, тогда как другая никак не связана с первой. В таком случае две части оказались бы изолированными друг от друга, и система S распалась бы на две самостоятельные подсистемы. Подобная картина нас не устраивает, коль скоро мы взялись исследовать "целостности".

Под связностью понимается даже нечто большее. Представим себе случай, когда подавляющее большинство элементов системы пребывают во всесторонних связях между собой, а один - если и не абсолютный отшельник, то поддерживает контакт лишь с каким-то, допустим, одним же элементом из большинства, а остальные игнорирует. Тогда речь шла бы не о полной изоляции, а об ущербности, бедности связей, т.е. "полуизоляции". Нам это также не подходит, и если система S претендует на целостность, она обязана демонстрировать ее по всем критериям, во всех своих составляющих. Допустимо говорить о "сквозной", или "тотальной", связности, о воплощении тезиса "все связаны со всеми". В дальнейшем, именуя систему S целостной (вариант: холистичной), мы будем считать, что она обладает тремя перечисленными свойствами: полноты, замкнутости, связности.

Строго говоря, на систему следует наложить еще одно ограничение, допускающее ряд эквивалентных формулировок, из которых выберем, например, "простоту". Чуть позднее мы подробнее поясним характер этого требования, сейчас же, чтобы не тормозить изложение, двинемся дальше.

В каждом из отношений задействован один или несколько элементов, т.е. элементов в системе не меньше, чем отношений: M ≥ k (M больше или равно k). Каждый элемент, не являясь изолированным, в свою очередь, участвует в одном или в нескольких отношениях, т.е. отношений не меньше, чем элементов: M ≤ k (M меньше или равно k). Объединив два условия, получим:

В дискретных целостных системах число элементов равно числу отношений.

Элементы системы связаны между собой (физически, логически, в любом интересующем плане) попарно, тройками, группами по четыре и т.д. При изучении реальных систем часто сосредоточивают внимание лишь на определенном классе отношений элементов между собой. Скажем, выбирая в качестве базовых попарные (бинарные) отношения, все остальные (взаимодействия одновременно по три, по четыре и т.д.) считают логически производными от бинарных. Так поступают, например, в классической физике, ставя во главу угла взаимодействие пар материальных точек, а к более сложным случаям переходят с помощью обыкновенного наложения, суперпозиции. Дело, конечно, не в физике как таковой, - аналогичные предположения используются в самых разных областях, где так или иначе задействован рассудок. По сходному пути пойдем и мы, выбирая в качестве конституирующей лишь одну из разновидностей отношений, однако уже не обязательно бинарных.

Обозначим через n кратность отношений, заданных таким образом в системе, т.е. количество элементов, участвующих в каждом отдельном отношении, или взаимодействии. Если отношения бинарны, то n = 2 ; если тринитарны, то n = 3 и т.д. Сказанное - достаточно сильное логическое ограничение на систему, но, как вскоре предстоит убедиться, ее прецеденты встречаются чуть не на каждом шагу. Что, собственно, имеется в виду?

Во-первых, мы отвлекаемся от того, что, например, один элемент может вступать в многообразные отношения с другим, и в момент анализа берем только одно отношение: либо "генерализируя", "редуцируя" разнообразие и сводя его к одному "интегральному" сорту, либо рассматривая систему в некоем одном, специальном аспекте и под таким углом зрения априорно интересуясь только одним сортом. Подобные рамки суть заведомое упрощение многих реальных систем, но ведь сложное обычно познается посредством простого. Во-вторых, мы унифицировали отношения в смысле их кратности: например, если какая-то подгруппа элементов взаимодействует попарно, точно так же обязаны взаимодействовать и другие подгруппы. Если речь идет о тринитарном взаимодействии, таково оно для всех секторов. Подобная унификация есть не что иное, как требование логической однородности рассматриваемой системы: все ее части подчиняются одному и тому же принципу. Если бы было иначе, мы бы не знали, какой стратегии исследования придерживаться, и нам пришлось бы по-отдельности изучать, что происходит при одной кратности отношений (в одной подгруппе), а что при другой, т.е. мы все равно методологически вернулись бы к исходным простейшим случаям. Генерализация, редукция, выделение специального аспекта, унификация, достижение логической однородности - все это разные пути к выполнению одного и того же условия, выше названного простотой. Благодаря последней мы и можем определить кратность отношений n и считать ее одинаковой в рамках всей системы. Отныне у нас есть основание именовать такие совокупности не только целостными (полными, замкнутыми, связными), но и простыми.

В результате, чтобы определить количество отношений k, нужно пересчитать все возможные группы, состоящие из n элементов. Это одна из стандартных для элементарной математики процедур, и для сверки читатель может заглянуть в начало любого краткого курса комбинаторики, например, в [235]:

где С_Мⁿ - число сочетаний из M элементов по n.

Подставив формулу (2) в условие (1), получим:

Ни один из курсов комбинаторики не обходится и без выражения для числа сочетаний [там же, с. 517]:

где знак факториала ( ! ) означает перемножение всех чисел от единицы до стоящего перед факториалом значения (например, M! = 1·2·3·...·M ).

Объединив условие (3) с формулой (4), получим уравнение:

Решать данное уравнение предстоит уже в следующих разделах, а другой, для кого-то, возможно, более убедительный, вывод вынесен в Приложение 1.

Примечания

¹ Поскольку составляемой модели предстоит работать с весьма элементарным, генетически древним (см. Предисловие) срезом культуры, постольку уместна ссылка на Аристотеля, на его мнение, что целое предшествует частям, см. [25, с. 379]. Или проще: представим себе ситуацию, когда мы собираемся составить некий заведомо полный список, но еще не знаем ни из каких единиц он будет состоять, ни сколько таких единиц потребуется.

назад | к началу сайта | к началу блока | вперед